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李炜 等比数列的前n项和(第一课时)优质课比赛课
作者:网络采集 日期:2017-04-17 14:47 人气:
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李炜 等比数列的前n项和(第一课时)优质课比赛课件

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等比数列的前n项和(1) 人几粒麦就 什么样的 搞定. 赏赐?每个格子里放 的麦粒数都是 前一个格子里 陛下赏小 放的的2倍, 你想得到 直到第64个格 子…OK?请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗? 上述问题实际上是求1,2,4,8¨¨263 这个等比数列的和.令S64=1 +2+4+8+ ¨¨ ¨+263, 2S64= 2+4+8+ ¨¨ ¨+263② -① 得S64= 264-1. ①+ 264 ,②错位相减 当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时, 国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来,也满足不了那位宰相的要求. 那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢?1? 2 ? 2 ? 2 ?? 21 2 3631? (1 ? 2 ) 64 ? ? 2 ?1 1? 264= 18446744073709551615(粒). 等比数列的前n项和 想一想设等比数列 ?an ? 公比为 q ,它的前n项 和 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ,如何用 a1 , q, n 或 an 来表示 S ?n 问题探究等比数列 {{ a}},公比为 q ,它的前 n 项和 等比数列 an n ,公比为 q ,它的前 n 项和错位相减法1q a a ?? a n ? q ?1 S n ? a1? a1 a ??1q 2 ????1qa?2 a1 a n, S n ? a1? 2 3 n ?1 ? n错位相减法2? ? ?(? ? )SSn?? a1 ? a1qn ?(1 1 q q) a ? a q.2qSn ? qSn ?n n a1 q ? a1q 2 ??? a1qa?2 a1qa?1? a1q n ? a ? a ? a q,3n ?1?n?n当 qq? 11时, 当 ? 时n1 a1 a1 ? q n )q ( ? a 当 qq? 11时, sn ? 1 当 ? 时 Sn ? 1 ? q n .sn ? na1 , S n ? na1n1? q ? 判断是非5(1 ? 1 ) 5 ? 5 ? 5 ??? 5 ? ?0 1 ?1n1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ??? (?2)n个n?1?1 ? (1 ? 2 ) 2 1 ? (?2)nn n+1n (? 2)1 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 22 3n1 ? (1 ? 2 ) ? 1? 2 ? 试一试:? 类比等差数列前n项和的性质,推 导等比数列前n项和具有的性质. ? 等差数列{an}中,Sn为其前n项和 ,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…仍 成等差数列. ? 在等比数列中,Sn为其前n项和 ,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…也 n(q≠- 成等比数列,其公比为q 1). ? 想一想:等比数列前n项和Sn与函 数有何关系?n a1?1-q ? (3)当 q≠1 时, n 项和公式 Sn= 前 变为 1-q a1 n a1 Sn=- q + , 式子是由一个指数式与一 1-q 1-qn个常数的和构成,且指数式的系数与常数项互为相反数,公式写成 Sn=aq - a( a≠0,q≠0,n 是否是等比数列.∈N+),由此可以根据前 n 项和公式判断某数列 合作探究1 n 练习3:在等比数列{an}中,Sn=k-( ) ,则实数k的值 2 为( B ) 3 1 ( A) (B)1 (C) ( D)任意实数 4 2 a1 (1 ? q n ) a1 a1 解法2:易知q ? 1, Sn ? ? ? ? q n, 1? q 1? q 1? q a1 令 ? A,则Sn ? A ? A ? q n . 1? q1 1 1 解法1: a1 ? S1 ? k ? , a2 ? S 2 ? S1 ? , a3 ? S3 ? S 2 ? , 2 4 8 1 1 1 2 1 2 又 a1 ? a3 ? a2 ,即(k ? ) ? ? ( ) ,解得k ? . 2 8 4 2 ? 想一想:等比数列前n项和Sn 与函数有何关系?提示 a1- a1qn 在等比数列的前 n 项和公式中 Sn= ,令 1-q- a1 = A,则 Sn=Aqn- A,从函数角度看 Sn 的图象过原点, 1-q 可将指数函数 qn 的图象纵坐标变为原来的 A 倍, 再上下平移 | A|个单位( A>0 时向下, A<0 时向上)得到. 2.等比数列前 n 项和的性质 (1)等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n -Sn,S3n-S2n 成等比数列(当 q=-1,n 为偶 数时,上述性质不成立). ? 题型二 等比数列前n项和性质的应用 ? 【例2】 各项均为正数的等比数列{an}中,若 S10=10,S20=30,求S30. ? [思路探索] 利用等比数列前n项和公式或性质 求解. 解法一设{an}的公比为 q,显然 q≠1. a1?1-q10? ? ?10= 1-q ? 由已知条件可列出方程组? a1?1-q20? ? ?30= 1-q ? +q10=3, ∴q10=2, a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1-q 1-q =10×(1+2+4)=70.,两式作商得 1 ? 题型二 等比数列前n项和性质的应用 ? 【例2】 各项均为正数的等比数列{an}中,若 S10=10,S20=30,求S30..? 法二 ∵S10,S20-S10,S30-S20成等 比数列, ? 而S10=10,S20=30, ? ∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20),? 即(30-10)2=10×(S30-30),∴S30= 70. S6 S9 【变式 2】 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 S3 S6 =( ). A.2 7 B. 3 8 C. 3 D.3解析 S9=7S3,:S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列, 于是, S6=3S3, 可推出 S9-S6=4S3, S9 7 ∴ = .故选 B. S6 3 ? 3.等比数列前n项和公式的推导与 错位相减法? 对于形如{xn· n}的数列的和,其中{xn}是 y 等差数列,{yn}是等比数列,都可以用错 位相减法求和. 题型三错位相减法求和2【例 3】 已知等差数列{an}的通项公式为 an=4n-2,等 an 比数列{bn}的通项公式为 bn= n-1,设 cn=b ,求数列{cn}的 4 n 前 n 项和 Tn.? 审题指导 本题主要考查错位相减法求和的基 本做法及运算.【解题流程】 写出数列Cn的通项 → 和式Tn= C1+C2+…+Cn→ 乘公比q,错位相减 → 化简整理Tn 2n-1 【变式 3】 求数列{ n }的前 n 项和 Sn. 2解2n-1 1 3 5 ∵Sn= + 2+ 3+…+ n ,① 2 2 2 22n-3 2n-1 1 1 3 ∴ Sn= 2+ 3+…+ n + n+1 ,② 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n-1 ∴①-②得 Sn= + 2+ 3+…+ n- n+1 . 2 2 2 2 2 2? 1 1 1 ? 2n-1 ? ∴Sn=1+?1+2+22+…+2n-2?- n ? 2 ? ?1 n-1 1×[1-? ? ] 2n-1 2n+3 2 =1+ - n =3- n . 1 2 2 1- 2 题型一 等比数列基本量的运算 【例 1】 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; 5 (2) a1+ a3=10, a4+ a6= ,求 S5; 4 (3) a1+an=66, a2an-1=128,Sn=126,求 q. 题型一等比数列基本量的运算【例 1】 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn;解? a ?1+q?=30, ? 1 (1)由题意知? ? a1?1+q+q2?=155, ?? a =5, ? 1 解得? ?q=5 ?? a1=180, ? 或? 5 ?q=-6, ?1 5 n+1 从而 Sn= ×5 - 或 Sn= 4 41? ? 5? ? ? 080×?1-?-6?n? ? ? ? ? ? ? ?
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